1 随机-事件-概率
1.1 随机事件
1.1.1 随机实验
- 可重复性
- 可预测性
- 不确定性
比如：掷筛子实验、投篮实验、抛硬币实验、射击实验等。
1.1.2 样本空间
随机实验E的所有结果构成的集合成为样本空间，记为$ \Omega$
如抛一枚硬币的样本空间 $ \Omega$ = $ {$ 正面、反面$ }$ ， 掷筛子的样本空间 $ \Omega$ = $ {$ 1、2、3、4、5、6$ }$
1.1.3 样本点
样本空间$ \Omega$ 的每一个元素，称之为样本点，记为$ \varOmega$
1.1.4 随机事件
样本空间$ \Omega$ 的子集成为随机事件，记为A、 B、C， 可简称事件，事件 = 子集，
如掷筛子出现奇数点的事件 A = $ {$ 1、3、5$ }$
几个特殊的随机事件：
必然事件–必然会发生的事件：$ \Omega$ ；
不可能事件–不可能发生的事件：$ \varnothing$
1.1.5 习题
抛一枚硬币两次，正反面朝上的情况（正面：H、反面：T）：
$ \Omega$
1= $ {$ HH、HT、 TH、TT$ }$抛一枚硬币两次，出现正面的情况：
$ \Omega$
2= $ {$ 0, 1, 2$ }$某地方急救中心一夜中接到的呼唤次数：
$ \Omega$
3= $ {$ 0, 1, 2, …$ }$
1.2 事件之间的关系和运算
1.2.1 事件的包含
A $ \subset$ B: 若事件A发生，则必然事件B发生。
1.2.2 事件的和
A $ \cup$ B 或 A + B ：A发生或者B发生/A与B至少发生一次。
A $ \cup$ B $ \cup$ C : A, B, C三个事件至少发生一次。
1.2.3 事件的积
AB 或 A $ \cap$ B : 事件A发生而且B发生/A与B同时都发生。
A $ \cap$ B $ \cap$ C : A, B, C三个事件均发生。
1.2.4 事件的差
A - B : 事件A发生，但B不发生。
A - B - C ： 事件A发生，B、 C均不发生。
A -B = A - AB
1.2.5 互不相容事件（互斥事件）
A与B互斥： AB = $ \varnothing$
1.2.6 对立事件（互逆事件）
A与B对立：$ \begin{cases}AB = \varnothing \ A\cup B = \Omega \end{cases}$
记为 A = $ \overline{B}$ 或 B = $ \overline{A}$
A - B = A - AB = A$ \overline{B}$
1.2.7 事件运算满足的定律
- 交换律：
$ A \cup B = B \cup A$
$ A \cap B = B \cap A$
- 结合律：
$ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
$ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配率：
$ (A \cup B)\cap C = (A \cap B)\cup (B \cap C)$
$ (A \cap B)\cup C = (A \cup B)\cap (B \cup C)$
对偶率:
$ \overline{A \cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}$
$ \overline{A \cap B} = \overline{A}\cup \overline{B}$
$ \overline{A\cup B\cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$
$ \overline{A\cap B\cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$
1.2.8 习题
A、B都发生，C不发生：
$ AB\overline C$ 或者 $ AB - C$
A、B、C恰有一个发生：
$ A\overline{BC}\cup \overline{AB}C\cup \overline{A}B\overline{C}$
A、B、C至少发生一个：
$ A\cup B\cup C$
A、B、C至少发生两个：
$ AB\cup BC\cup AC$
1.3 概率的定义与性质
1.3.1 概率的统计性定义
- 频率：设E是一个随机实验，A为任意事件，把E独立重复做n次，n
A表示事件A发生的次数，则称$ \frac{n_A}{n} = f_n(A)$ 为A发生的频率。 - 概率：当实验次数n充分大时，频率$ f_n(A) \to p$ ,称常熟P为A发生的概率，记为$ P(A) = p$ , 如抛硬币，A = “正面朝上” $ \Rightarrow$ $ P(A) = p = \frac{1}{2}$
1.3.2 概率的性质
- 非负性： $ 0 \le P(A) \le 1$
- 规范性： $ P(\Omega) = 1, P(\varnothing) = 0$
- 有限可加性： 若A, B互斥，$ P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- 互补性： $ P(\overline A) = 1 - P(A)$
1.3.3 重要公式
减法公式： $ P(A-B) = P(A) - P(AB)$
加法公式：$ P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(AB)$ ,
$ P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$
规律：加奇减偶